Cronograma
Descripción del contenido de cada clase.
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Primer Bloque:
Fenomenología de la Superfluidez - Primer ejemplo de una Transición de Fase.
Clase 1.
Breve historia de la superfluidez. El diagrama de fases del He4. Por qué no solidifica el He a presiones moderadas aún a T=0? Gases y líquidos cuánticos. Fenomenología de la superfluidez. Transiciones de fase y singularidades: conductividad térmica, calor específico y viscosidad. Arrastre vs. flujo en un capilar: la fracción superfluida. Exponentes críticos y modelo XY: la universalidad. La entropía del superfluido. Efecto termomecánico y efecto fuente.
Clase 2.
Ondas de temperatura: segundo sonido en He4. El film superfluido como un sifón. Bosquejo del "modelo de dos fluidos". Explicación de los experimentos anteriores en base al mismo. Primer acercamiento a la microscopía del superfluido; la función de onda y la velocidad superfluida. Por qué importa el concepto de velocidad en una entidad cuántica? Efecto termomecánico.
Clase 3.
Consecuencias de una función de onda macroscópica: el flujo irrotacional. La importancia de la topología: cuantificación de la circulación y momento angular. El experimento de Vinen. Vórtices en sistemas simple y múltiplemente conexos. Defectos topológicos, estabilidad y materia de vórtices. Resumen de los nuevos conceptos y perspectiva.
Segundo Bloque:
Repaso y nuevos conceptos.
Clase 4.
Brevísimo repaso de Mecánica estadística de equilibrio.Valores medio y fluctuaciones. Densidades reducidas. Densidad reducida de una partícula para un gas ideal de partículas distinguibles. Coherencia cuántica en un gas de Bose.
Clase 5.
Coherencia y función de onda macroscópica en un sistema interactuante: la importancia de la condensación en p=0. Condensado e interferencia en un gas de átomos fríos.
El límite clasico del operador densidad. Gases clásicos interactuantes: la validez de la distribución de Maxwell de velocidades. Potenciales de interacción. Integrales de configuración
Clase 6.
Gases diluídos y serie virial. Su aplicación a un gas clásico (desarrollo de la ecuación de van der Waals) y a un caso cuántico: evaluación del grado de vaciamiento del estado con p=0 en el condensado de Bose para He4.
Tercer Bloque:
Aspecto formal de las Transiciones de Fase. Condensación gas-líquido.
Clase 7.
Propiedades de la Función de Partición exacta de un fluido. Teoremas de van Hove. Coexistencia y estabilidad de fases. El punto crítico, los fenómenos críticos, la opalescencia crítica. Diagramas de fases y simetrías. Singularidades en los potenciales termodinámicos y los ceros en la función de partición. La importancia del límite termodinámico: los teoremas de Yang y Lee. Transiciones de primer orden y de segundo orden.
Cuarto Bloque:
Modelos de red. Modelo de Ising, XY y Heisenberg. Método de Campo Medio. Soluciones exactas en casos simples.
Clase 8.
Modelos de red. Energía de intercambio y anisotropía. Dimensión del espacio (D) y del parámetro de orden (d). Presentación del modelo de Heisenberg, XY e Ising.
Clase 9.
Equivalencia entre el modelo de Ising y otros modelos de red. El gas de red: tabla comparativa de parámetros termodinámicos. Isotermas. Aleaciones en una red.
Simetrías y parámetro de orden. Orden y falta de analiticidad en las funciones termodinámicas: ruptura espontántea de simetría. Orden y función de correlación de dos spines. Ising: Imposibilidad de orden para d=1.
Clase 10.
Definición de los exponentes críticos. Desigualdad de Rushbrooke y de Griffiths. Teoría de campo medio: método variacional sobre el modelo de Ising. El campo efectivo. Minimización de la energía de prueba: la ecuación de autoconsistencia. Solución gráfica y numérica.
Clase 11.
La energía libre como función del parámetro de orden: reminiscencias de la teoría de Landau. Soluciones estables e inestables; falta de metaestabilidad en una transición de 2do orden. El operador densidad de prueba y la simetría del sistema. Isotermas M vs B; el diagrama de fases T vs B. Analogía para una transición líquido-gas. El caso cuantitativo: un gas de red. Cálculo de los exponentes críticos en campo medio. El misterio de las desigualdades que solo valen como igualdades.
Clase 12.
Exposición breve de la teoría de Weiss. El orden de aproximación siguiente: la teoría de Bethe. Éxitos y fracasos de la teoría de campo medio. Correlaciones espaciales: problemas cerca de Tc y excitaciones colectivas a baja temperatura.
Clase 13.
Solución exacta de modelos de red. Modelo de Ising de rango infinito: método del punto de ensilladura. Solución exacta y vuelta a la teoría de Yang y Lee. Modelo de Ising para D=1: el método de la matriz de transferencia. Funciones de correlación y longitud de correlación.
Quinto Bloque:
Teoría de Landau-Guinzburg. Superconductividad.
Clase 14.
Teoría de Landau: un metamodelo para la teoría de campo medio. La mesoescala en los fenómenos críticos y el parámetro de orden como un campo. Presentación de la teoría de Guinzburg-Landau: justificación desde la mecánica estadística. Simetría, estabilidad y los coeficientes del desarrollo. Integrales funcionales. Aproximación del punto de ensilladura: la conexión formal entre la teoría de Ginzburg-Landau con la teoría de campo medio.
Clase 15.
Cálculo de la función de correlación y la longitud de correlación en la aproximación de campo medio: los nuevos exponentes críticos.
Brevísima introducción a la superconductividad. Diferencias escenciales con el caso superfluido: pares de Cooper y el límite de acoplamiento débil. Naturaleza de los pares en los superconductores convencionales (función de onda BCS). El mecanismo de apareamiento y los pares de Cooper. Existencia de un gap en la relación de dispersión. Superconductores convencionales y no convencionales: pares singlete y triplete, ondas s, p y d.
Los fenómenos a través de la teoría de Guinzburg-Landau para B=0. El parámetro de orden, la entropía y el calor específico: comparación con los experimentos.
Clase 16.
El caso inhomogéneo: la longitud de coherencia de GL. Carga y acoplamiento con el campo magnético: longitud de penetración y efecto Meissner. Superconductividad con campo magnético aplicado: dos tipos de impulso. La rigidez de la función de onda y la teoría de London. Supercorrientes de apantallamiento y expulsión del campo magnético. Tres longitudes relevantes: la coherencia de GL, la coherencia de Pippard, y la longitud de apantallamiento. La energía de condensación y el campo crítico. Superconductores de Tipo I y II. Irreversibilidades y energía magnética en la curva M vs.B. Cuantificación del flujo magnético y vórtices en superconductores.
Clase 17.
El antiferromagnetismo en la teoría de Landau. Simetrías, el parámetro de orden, y la respuesta de un antiferro a un campo magnético uniforme. Una generalización importante: el campo conjugado del parámetro de orden y respuestas divergentes asociadas a ese campo; existe el campo conjugado de la función de onda superfluida?. La respuesta magnética anisotrópica de un cristal antiferro. Transición de spin flip. Criterio de Guinzburg: por qué la teoría de campo medio parece funcionar bien en superconductores convencionales? La dimensión crítica. La importancia de la longitud de coherencia: análisis dimensional y la resolución del misterio de las desigualdades que valen como igualdades.
Sexto Bloque:
Cuasipartículas.
Clase 18.
Repaso de 2da cuantificación. Bases de Fock y operadores. La densidad de una partícula en segunda cuantificación: relación con la transformada de Fourier del número de ocupación de impulsos. Cambios de base: los operadores de campo. Base de estados coherentes.
Clase 19.
Introducción a fonones en cristales. La aproximación de Born-Oppenheimer; grados de libertad electrónicos y de los núcleos: la interacción electrón fonón. Estudio de una cadena de átomos. Aproximación armónica; mención de la anarmonicidad y la dilatación térmica de los cristales. Condiciones de contorno periódicas y simetría traslacional discreta: el pseudoimpulso o impulso cristalino.
Clase 20.
Fonones en cristales. Modos normales clásicos, variables conjugadas y su cuantificación. Equivalencia entre el Hamiltoniano armónico de N partículas acopladas y de N modos desacoplados. La materia condensada y la posibilidad de ver de qué están hechas las partículas: operadores de creación y destrucción. Las vibraciones de una red cristalina como un gas de bosones libres no conservados. Efectos anarmónicos: el gas imperfecto de fonones. Regreso a las energías electrónicas y su perturbación frende a distorsiones de la red: la Interacción electrón-fonón.
Clase 21.
Transiciones de fases con ruptura de simetría: la transición líquido-sólido y paramagneto-ferromagneto. Dominios y excitaciones. Ondas de spin para el modelo de Heisenberg. La transformación de Holstein-Primakoff: paralelos entre fonones y magnones. Interacciones entre magnones.
Excitaciones y simetrías contínuas: los modos de Goldstone. La importancia de las fluctuaciones de longitud de onda larga. La estabilidad de un cristal ante fluctuaciones cuánticas y térmicas. El teorema de Mermin y Wagner. Aplicación a distintos sistemas; discusión sobre el caso del grafeno. Breve mención de la transición de Kosterlitz y Thouless.
Clase 22.
Método variacional para un sistema bosónico: el rol de las interacciones en la ruptura de simetría. Gas imperfecto de Bosones: la transformación de Bogoliubov y la relación de dispersión a bajas energías.
Clase 23.
Excitaciones en He 4: fonones y rotones. La teoría de Landau de la superfluidez. La condición de Landau y la velocidad crítica. El rol de las interacciones en la superfluidez. Construcción del modelo de dos fluidos a partir de la relación de dispersión. Densidad del fluido normal y energía cinética: el gas de cuasipartículas como un líquido viscoso. Densidad del superfluido. Recuperación de las ecuaciones del modelo de dos fluidos.
FIN.
