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MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA

Matemáticas Especiales II.

La materia Métodos de la Física Matemática, que se dicta en el segundo semestre de cada año, consta de dos unidades claramente diferenciadas: Análisis Funcional y Teoría de Grupos.

• La unidad de Análisis Funcional comienza con una introducción a los espacios euclídeos concediendo especial  énfasis al caso de espacios euclídeos de dimensión infinita pues el objetivo central de esta primera parte es arribar al concepto de espacio de Hilbert, que es el punto de partida para el estudio de un sistema en Mecánica Cuántica. La tarea siguiente consiste, en líneas generales, en estudiar los operadores compactos y la relación entre su descomposición espectral y las bases completas de los espacios de Hilbert, para luego presentar su relación con ciertos operadores no acotados de uso en esos estudios.

El estudio de los espacios de Hilbert y los operadores allí definidos no sólo provee el marco matemático para la formulación de la Mecánica Cuántica, sino que proporciona una comprensión formal de varias técnicas fundamentales para la resolución de problemas físicos concretos: funciones de Green, determinación de autovalores de operadores autoadjuntos, formalización de las condiciones de contorno, transformada de Fourier, así como su extensión a la teoría de distribuciones.

• La unidad de Teoría de Grupos comienza con las definiciones y propiedades elementales de los grupos y continúa con un estudio detallado de los grupos  finitos y sus representaciones. Se consideran tanto aplicaciones a problemas físicos --por ej: al análisis clásico y cuántico de osciladores acoplados donde la teoría de grupos permite determinar posibles degeneraciones-- como las de definiciones y teoremas que serán luego fundamentales para el estudio de grupos de Lie. Los grupos de Lie conjugan la estructura de grupo con la de variedad diferencial, lo que conduce al estudio de las denominadas  algebras de Lie. En esta unidad se definen y aplican conceptos de geometría diferencial y topología --por ejemplo: grupos de homotopía, corchete de Lie y mapeo exponencial. Esta segunda parte está centrada en el aspecto quizás más importante de las aplicaciones de la Teoría de Grupos a la Física Teórica: las representaciones de los grupos de Lie y su aplicación a la descripción de simetrías de sistemas cuánticos. La materia finaliza con un estudio más detallado del grupo de rotaciones y una aplicación de los conceptos desarrollados al grupo de Lorentz.  La cantidad y diversidad de aplicaciones de la Teoría de Grupos, tanto en Física como en Matemática, es extraordinaria. Sin embargo, los grupos de Lie en particular son una herramienta indispensable en Física Teórica: permiten comprender la importancia de las simetrías en Mecánica Cuántica, proporcionan los principios fundamentales de la Relatividad General y constituyen el lenguaje matemático esencial en el que se describen las interacciones entre las partículas fundamentales en el marco de la Teoría Cuántica de Campos.

TEORÍA DE GRUPOS:
Elementos básicos: Axiomas. Isomorfismos y Homomorfismos. Representación lineal de G. Subgrupo. Teorema de Lagrange. Teorema de Cayley. Cosets. Clases de elementos conjugados, interpreatción física. Diagramas de Young y permutaciones. Subgrupo invariante. Grupos simples y semisimples. Grupo cociente. Teorema de homomorfismos Producto directo de grupos. Centro de un grupo.

Representaciones de grupos discretos: Representaciones equivalentes. Representación conjugada y contragradiente. Representaciones reales, pseudoreales y complejas. Suma directa y producto directo. Representaciones reducibles e irreducibles. Unitariedad. Teorema de Schur. Relaciones de ortogonalidad para representaciones irreducibles de grupos de orden finito. Funciones de clase, caracteres simples. Criterio de irreducibilidad. Tabla de caracteres. Algebra de un grupo de orden finito, representación regular. Teorema de Burnside. Proyectores. Aplicaciones físicas al cálculo del espectro de fluctuaciones y modos normales de moléculas.

Teoría de Grupos y Mecánica cuántica: Operadores sobre espacios de funciones. Definición de simetría en Mecánica cuántica, degeneración. Números cuánticos e índices de representaciones irreducibles. Teorema de Bloch. Grupos de simetría y reglas de selección para elementos de matriz.

Grupos de Lie: Variedad de grupo, dimensión de un grupo. Grupos conexos y compactos. Grupo de homotopía. Grupos simplemente conexos. Ejemplos: O(2), SL(2,R). Grupos clásicos de matrices.

Algebras de Lie: Elementos de geometría diferencial: planos tangentes y vectores, álgebra de Lie. Push-forward y pull-back. Mapeo exponencial. Traslaciones a izquierda y derecha en G. Campos vectoriales invariantes a izquierda y derecha. Constantes de estructura de un grupo. Generadores. Algebras de Lie de grupos de matrices. Aplicación exponencial. Problema del cubrimiento, producto de mapeos exponenciales. Geometría y representantes de cosets. Representación regular y métrica invariante de Killing-Cartan. Métrica G-invariantes y bi-invariante sobre G.

Grupo de rotaciones: Algebras de Lie de los grupos SU(2) y SO(3) y variedades de los grupos. Homomorfismo SU(2)→SO(3). Constantes de estructura totalmente antisimétricas, invariante cuadrático de Casimir. Medida de integración invariante y Teorema de Peter-Weyl. Representaciones unitarias irreducibles del grupo SU(2). Ortogonalidad de caracteres. Producto directo de representaciones irreducibles. Descomposición de Clebsh - Gordan.

Grupo de Lorentz y Grupo de Poincare: Métrica de Minkowski y grupos de Lorentz SO(3,1) y Poincaré ISO(3,1). Álgebra so(3,1) y su complexi cación. Representaciones irreducibles. Grupo de cubrimiento SL(2,C), homomor smo SL(2,C)→SO(3,1). Grupo de Cli ord, álgebra de matrices gamma. Teorema de Pauli. Espinores de Dirac, Majorana y Weyl. Grupo de Poincare ISO(3,1) y sus representaciones. Vector de Pauli-Ljubanski, helicidad.

ANÁLISIS FUNCIONAL:

Espacios de Hilbert: Espacios de funciones, definiciones y ejemplos. Distintas nociones de normas y convergencia. Secuencias de Cauchy y espacios completos. Producto interno en un espacio de funciones. Espacio de Hilbert, definición. Espacio de funciones de cuadrado sumable L2(a, b). Desigualdad de Bessel y Teorema de Parseval. Conjuntos ortonormales, polinomios ortogonales.

Operadores sobre espacios de funciones: Operador adjunto, definición. Operador hermítico. Condiciones de contorno autoadjuntas. Ejemplos: operador impulso y operador Sturm-Liouville, c.c. de Robin. Norma de un operador. Operadores acotados. Operadores completamente continuos. Autovalores y autovectores de operadores simétricos completamente continuos. Descomposición espectral. Operador integral de Fredholm. Ecuaciones integrales inhomogéneas. Operadores con inversa simétrica completamente continua. Problema de Sturm - Liouville.

Transformación de Fourier en L2(R): Transformación de Fourier en L1(R). Subespacios densos en L2(R): C0(R). El espacio de Schwartz. Teorema de Plancherel.

Teoría de Distribuciones: Operadores lineales y distribuciones. Teorema de Riesz-Frechet. Espacio de funciones de prueba. Funciones generalizadas (o distribuciones). Distribuciones regulares y singulares. Límite de secuencias de distribuciones. Diferenciación de distribuciones. Regularización de integrales divergentes. La distribución (x+)λ. Transformación de Fourier de distribuciones, continuidad. Distribuciones temperadas. Convolución de distribuciones. Soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales. Integración y diferenciación de orden arbitrario. Descomposición en distribuciones propias.

TEORÍA DE GRUPOS:
Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, R. Gilmore; Lie Groups, Physics, and Geometry: An Introduction for Physicists, Engineers and Chemists, R. Gilmore; Group Theory, E. Wigner; Group Theory and its Applications to Physical Problems, M. Hammermesh; Notas de clase, H. Falomir; Mathematics for physics II, M. Stone; Group Theory and Quantum Mechanics, M. Tinkham; Quantum Mechanics, L. Landau; Geometrical Methods of Mathematical Physics, B. Schutz; Quantum Field Theory, Vol 1, S. Weinberg.

ANÁLISIS FUNCIONAL:
Quantum Field Theory, Vol 1, Zeidler; Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, R. Courant y D. Hilbert; Functional analysis, Y. Vilenkin; Notas de clase, H. Falomir; Mathematics for physics II, M. Stone;