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CALENDARIO PROFESORES PREINSCRIPCIÓN

SOBRE LA

COMISIÓN

MATERIAS

OPTATIVAS

 

ÁLGEBRA LINEAL: APLICACIONES FÍSICAS

Correlatividades:

Análisis Matemático I, Álgebra, Física General I

Se dicta en el primer cuatrimestre de cada año.

 

 

Motivación:

El curso tiene dos objetivos centrales:

1) Establecer un puente entre el tratamiento intuitivo y computacional propio de los cursos elementales de Matemática y el carácter más formal y abstracto de los cursos superiores.

2) Proporcionar las herramientas fundamentales que serán necesarias al afrontar la resolución de problemas físicos propios de las asignaturas de años superiores de la carrera de Licenciatura en Física.

 

Con el fin de cumplir estos objetivos se comienza con las nociones básicas: definición de espacios y subespacios vectoriales, bases y dimensiones, operaciones entre subespacios, cambios de base, autovalores y autovectores, diagonalización, operadores lineales, formas lineales, bilineales y cuadráticas. A continuación, se introducen nociones métricas, se discuten espacios con métrica euclídea, pseudoeuclídea y unitaria. Aunque el énfasis está centrado en el estudio de espacios vectoriales de dimensión finita, se extienden las definiciones a espacios vectoriales de dimensión infinita toda vez que es posible hacerlo sin entrar profundamente en el estudio de cuestiones más propias del Análisis Funcional (que habrá de estudiarse, a posteriori, en Métodos de la Física Matemática). Finalmente, se introducen los elementos de la teoría de tensores, primero en general y, luego, en el caso de espacios métricos. En particular, se discuten tensores y campos tensoriales en espacios euclídeos y pseudoeuclídeos y la aplicación de estos últimos al estudio de la teoría de la Relatividad Especial.

 

Los conocimientos antes enumerados constituyen una formación matemática indispensable a la hora de afrontar diversas asignaturas, tales como Física IV, Mecánica Analítica, Matemáticas Especiales II y Mecánica Cuántica, por citar sólo las más inmediatas. 

 

Programa:

I -  Introducción

Sistemas algebraicos abstractos. Propiedades de operaciones binarias. Grupo. Anillo. Cuerpo. Funciones. Morfismos entre sistemas algebraicos.

 

II – Espacios vectoriales

Motivación geométrica. Definición. Propiedades. Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal. Bases.  vector. Dimensión de un espacio vectorial. Espacios finito- e infinito-dimensionales. Subespacios. Operaciones con subespacios.  Bases ordenadas y coordenadas de un vector. Cambio de base.

 

III – Funciones lineales de argumento vectorial

Formas lineales. Transformaciones lineales. Representación de transformaciones lineales mediante matrices. Operaciones con transformaciones lineales. Imagen y espacio  nulo. Rango y nulidad. Inversas a izquierda y derecha. Operadores lineales. Potencias y funciones de operadores lineales. Inversas de operadores y matrices.

 

IV – Subespacios invariantes y diagonalización

Subespacios invariantes. Matriz de un operador lineal con subespacios invariantes. Autovectores y autovalores. Espacios propios. Determinación de autovalores y autovectores en dimensión finita: ecuación característica. Transformaciones de coordenadas. Matriz asociada con un cambio de base. Transformación de los coeficientes de una forma lineal y de la matriz de un operador linieal. Similitud o semejanza. Diagonalización.

 

V – Teorema de Jordan

Álgebra de polinomios. Teorema de Jordan. Demostración y ejemplos de aplicación. Teorema de Cayley-Hamilton.

 

VI – Formas bilineales y cuadráticas

Formas bilineales. Representación general en dimensión finita. Transformación de la matriz asociada frente a cambios de base. Formas cuadráticas. Reducción a la forma canónica. Base canónica de una forma bilineal. Construcción de la base canónica por el método de Jacobi. Operadores lineales adjuntos con respecto a una forma bilineal simétrica. Isomorfismo entre espacios vectoriales. Isomorfismo entre espacios equipados con formas bilineales. Formas bilineales y cuadráticas en espacios reales: teorema de inercia. Formas multilineales.

 

VII – Espacios euclídeos y pseudo-euclídeos

Definición. Producto escalar en espacios reales. Conceptos métricos. Ortogonalidad. Teorema de Pitágoras y desigualdades triangulares. Isomorfismo euclídeo. Bases ortogonales. Operadores adjuntos en espacios euclídeos. Isometrías. Espacios pseudo-euclídeos y transformaciones de Lorentz: el espacio de Minkowski.

 

VIII – Espacios unitarios

Formas hermíticas. Formas cuadráticas hermíticas. Vectores conjugados y bases canónicas. Operadores lineales adjuntos. Producto escalar en espacios complejos. Espacios unitarios. Conceptos métricos. Desigualdad de Schwartz. Bases ortonormales en espacios unitarios de dimensión finita. Operadores adjuntos en espacios unitarios. Transformaciones unitarias. Propiedades de operadores autoadjuntos y normales. Valores singulares. Descomposición en valores singulares.

 

IX - Tensores

Espacio dual. Bases duales. Intercambiabilidad de un espacio y su dual. Doble dual. Transformaciones de coordenadas en un espacio y en su dual. Duales de espacios euclídeos. Formas multilineales y tensores. Transformaciones de los coeficientes de las formas multilineales frente a cambios de coordenadas. Tensores. Grado, contra- y covarianza. Propiedades de tensores. Operaciones con tensores. Tensores simétricos y antisimétricos. Tensores en espacios euclídeos. Tensores y pseudotensores cartesianos. Campos tensoriales. Derivación de tensores. Tensores más generales. Cambios de coordenadas generales. Cálculo tensorial en coordenadas polares. Tensor métrico. Derivada covariante. Símbolos de Christoffel.

 

Bibliografía:

G. E . Shilov – Linear Algebra – Ed. Dover

 

K. Hoffman y R. Kunze – Álgebra Lineal – Ed. Prentice-Hall Latinoamericana

 

I. M. Gelfand – Lectures on Linear Algebra – Ed. Dover

 

L. A. Santaló – Vectores y Tensores con sus Aplicaciones – Ed. EUDEBA

 

B. F. Schutz – A First Course in General Relativity – Ed. Cambridge University Press

 

 

 

 

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